HTML5在网站跨屏适配中的具体应用有以下几个方面：

1. 响应式布局（Responsive Layout）：利用HTML5的媒体查询功能，根据设备屏幕大小和分辨率动态调整布局和样式，使网站在不同屏幕上显示合适，并保持页面结构的完整性。

2. 弹性图像（Flexible Images）：利用HTML5的新元素<picture>和<source>，根据设备屏幕大小选择不同尺寸、分辨率和格式的图像，以提高网站加载速度并减少资源浪费。

3. 媒体查询（Media Queries）：通过使用HTML5的@media规则，可以根据不同屏幕大小和设备类型应用不同的样式和布局。媒体查询可以检测屏幕分辨率、设备类型（如手机、平板电脑、桌面电脑）和浏览器宽度，并基于这些条件提供不同的样式。

4. 触摸事件（Touch Events）：HTML5支持触摸事件，如tap、swipe、pinch等，以提供更好的触摸屏幕体验。通过处理触摸事件，可以实现更直观、用户友好的界面操作。

5. 本地存储（Local Storage）：HTML5引入了本地存储机制，使得网站可以在客户端存储和访问数据，而不需要与服务器进行频繁的通信。本地存储可以在网站兼容性方面提供更好的效果和用户体验。

利用HTML5技术实现网站的兼容性可以采取以下措施：

1. 使用语义化标签：使用HTML5的语义化标签，如<header>、<nav>、<section>、<footer>等，可以更清晰地描述页面结构，并为搜索引擎提供更可靠的信息。

2. 使用标准CSS和样式表：使用最新的CSS3技术和标准样式表，避免使用特定于某个浏览器或设备的样式和特性，确保在不同浏览器和设备上的一致性。

3. 应用媒体查询：通过使用媒体查询，根据设备屏幕大小和特性应用不同的样式和布局，以适应不同的设备和分辨率。

4. 使用响应式框架：使用响应式框架，如Bootstrap和Foundation等，可以快速构建兼容不同屏幕的网页，省去繁琐的布局和样式设置。

5. 适当使用Javascript和插件：使用HTML5的新特性和Javascript库，如jQuery和Modernizr等，可以实现更好的交互效果和功能，同时要确保在不支持HTML5的浏览器上具备基本的功能。

6. 兼容性测试和优化：在开发过程中，进行兼容性测试，并根据测试结果对代码进行优化和修复，确保网站在不同浏览器和设备上的良好运行和显示。